Question

設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=m+

4

m

（m＞0）則點(diǎn)P的軌跡為（　�。�

• A、橢圓
• B、線段
• C、圓
• D、橢圓或線段

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由基本不等式得m+

4

m

≥2

m• 4 m

=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=

4

m

時(shí)、即m=2時(shí)取等號(hào)，對(duì)m進(jìn)行分類討論，根據(jù)關(guān)系式、橢圓的定義判斷出點(diǎn)P的軌跡．

解答： 解：因?yàn)閙＞0，所以m+

4

m

≥2

m• 4 m

=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=

4

m

時(shí)，即m=2時(shí)取等號(hào)，
由題意得，定點(diǎn)F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），則|F₁F₂|=4，
當(dāng)m=2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4=|F₁F₂|，所點(diǎn)P的軌跡為線段F₁F₂；
當(dāng)m＞0且m≠2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|＞4=|F₁F₂|，
由橢圓的定義知，所點(diǎn)P的軌跡為以F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）的橢圓，
所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓或線段，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用圓錐曲線的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，基本不等式，以及分類討論思想，注意圓錐曲線的定義限制條件．