Question

16．（1）定義在（-1，1）上的奇函數f（x）為減函數，且f（1-a）+f（1-a²）＞0，則實數a的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．
（2）定義在[-2，2]上的偶函數g（x），當x≥0時，g（x）為減函數，若g（1-m）＜g（m）成立，則m的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根據題意，將題中不等式轉化成f（1-a）＜-f（1-a²），利用f（x）是定義在（-1，1）上的減函數得到關于a的不等式，解之即可得到實數a的取值范圍．
（2）由題設條件函數是一個定義在[-2，2]上的偶函數g（x）滿足：當x≥0時，g（x）單調遞減，故可根據偶函數的性質得出函數的單調性，然后由單調性將不等式轉化為一次不等式即可，轉化時要注意定義域的限制，保證轉化等價．

解答 解：（1）由f（1-a）+f（1-a²）＞0，得f（1-a）＞-f（1-a²）．
∵f（x）是奇函數，
∴-f（1-a²）=f（a²-1）．
于是f（1-a）＞f（a²-1）．
又由于f（x）在（-1，1）上是減函數，
因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜{a}^{2}-1}\\{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$
解得1＜a＜$\sqrt{2}$．
（2）：∵定義在[-2，2]上的偶函數g（x）滿足：當x≥0時，g（x）單調遞減
∴偶函數g（x）在[-2，0]上是增函數，在[0，2]上是減函數，即自變量的絕對值越小，函數值越大
∵g（1-m）＜g（m），
∴$\left\{\begin{array}{l}{|1-m|＞|m|}\\{-2≤1-m≤2}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜$\frac{1}{2}$．
故答案為（1，$\sqrt{2}$）；[-1，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題給出函數的單調性，求解關于a（m）的不等式．著重考查了函數的奇偶性、單調性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．