Question

16．（1）定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（1-a）+f（1-a²）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．
（2）定義在[-2，2]上的偶函數(shù)g（x），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）為減函數(shù)，若g（1-m）＜g（m）成立，則m的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將題中不等式轉(zhuǎn)化成f（1-a）＜-f（1-a²），利用f（x）是定義在（-1，1）上的減函數(shù)得到關(guān)于a的不等式，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）由題設(shè)條件函數(shù)是一個(gè)定義在[-2，2]上的偶函數(shù)g（x）滿足：當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，故可根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式即可，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意定義域的限制，保證轉(zhuǎn)化等價(jià)．

解答 解：（1）由f（1-a）+f（1-a²）＞0，得f（1-a）＞-f（1-a²）．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（1-a²）=f（a²-1）．
于是f（1-a）＞f（a²-1）．
又由于f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
因此$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜{a}^{2}-1}\\{-1＜1-a＜1}\\{-1＜{a}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$
解得1＜a＜$\sqrt{2}$．
（2）：∵定義在[-2，2]上的偶函數(shù)g（x）滿足：當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）單調(diào)遞減
∴偶函數(shù)g（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，即自變量的絕對(duì)值越小，函數(shù)值越大
∵g（1-m）＜g（m），
∴$\left\{\begin{array}{l}{|1-m|＞|m|}\\{-2≤1-m≤2}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$，解得-1≤m＜$\frac{1}{2}$．
故答案為（1，$\sqrt{2}$）；[-1，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出函數(shù)的單調(diào)性，求解關(guān)于a（m）的不等式．著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．