Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(－1，－1)，c為橢圓的半焦距，且c＝b．過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l1的斜率為－1，求△PMN的面積；

（3）若線段MN的中點(diǎn)在x軸上，求直線MN的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）2;（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可得，且，加之的關(guān)系，可求得; （2）由于直線的斜率已確定，則可由其與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，因兩直線垂直，故當(dāng)時(shí)，用代替，進(jìn)而求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，得，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出： ，即可求出的面積;（3）觀察本題條件可用設(shè)而不求的方法處理此題，即設(shè)出點(diǎn)，兩點(diǎn)均在橢圓上得：，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征是一致的，則將兩式相減得， 由題中條件線段的中點(diǎn)在x軸上，所以，從而可得，此式表明兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系：可能相等;可能互為相反數(shù)，分兩種情況分類討論：當(dāng)時(shí)，再利用，可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步確定出兩點(diǎn)的坐標(biāo)或，即可求出直線的方程為;同理當(dāng)，求出直線的方程為．

試題解析：（1）由條件得，且，所以，解得．

所以橢圓方程為：． 3分

（2）設(shè)方程為，

聯(lián)立,消去得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.032.png">，解得．5分

當(dāng)時(shí)，用代替，得． 7分

將代入，得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.036.png">，所以，

所以的面積為． 9分

（3）設(shè)，則

兩式相減得，

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)在x軸上，所以，從而可得．12分

若，則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.021.png">，所以，得．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.040.png">，所以解得，所以或．

所以直線的方程為． 14分

若，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.043.png">，所以，得．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907150616225721_DA/SYS201411171907150616225721_DA.040.png">，所以解得，

經(jīng)檢驗(yàn)：滿足條件，不滿足條件．

綜上，直線的方程為或． 16分

考點(diǎn)：1.橢圓方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系