Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O是AB中點．
（1）求三棱錐P-ABC的外接球的表面積；
（2）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）判斷三角形ABC的形狀，確定三棱錐P-ABC的外接球的半徑，然后求解表面積；
（2）連接OC、OP，證明OC⊥AB，PO⊥AB，然后證明PO⊥OC，通過PO⊥AB，AB∩OC=O，說明PO⊥平面ABC．即可證明平面PAB⊥平面ABC；
（3）利用（2）的結果，確定棱錐的高，求出底面面積，即可求三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：（1）三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O是AB中點．
所以△ABC是直角三角形，∴OA=OB=OC=OP=1，
三棱錐P-ABC的外接球的半徑r=1 
∴表面積s=4π
（2）證明：連接OC、OP
∵AC=CB=

2

，O是AB中點，AB=2，∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又PC=

2

，∴PC²=OC²+PO²=2，
∴∠POC=90°，∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
（3）由（2）可知PO⊥平面ABC，PO是棱錐的高，底面三角形ABC是直角三角形，
所以v=

1

3

×

1

2

AB•OC•OP=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．

點評：本題考查平面與平面存在的判斷，棱錐的外接球的表面積的求法，棱錐的體積，考查空間想象能力計算能力．