設(shè)，由，f(3)>1，，f(15)>2，…

（1）你能得到怎樣的結(jié)論？并證明；

（2）是否存在一個(gè)正數(shù)T，使對(duì)任意的自然數(shù)n，恒有f(n)<T成立？并證明你的結(jié)論。

答案：
解析：

數(shù)列1，3，7，15，…。通項(xiàng)公式為an=2n-1，數(shù)列，1，，2，…通項(xiàng)公式為，∴ 猜想：。

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即。則

∴ 當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立。

據(jù)（1）、（2）對(duì)任何nÎN*原不等式均成立。

（2）對(duì)任意給定的正意T，設(shè)它的整數(shù)部分為T¢，記m=T¢+1，則m>T。由（1）知：f(22m-1)>m，∴ f(22m-1)>T，這說(shuō)明，對(duì)任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n（如可取假設(shè)中n為2m），使得f(n)>T。∴ 不存在正數(shù)T，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，總有f(n)<T成立。


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為
2π
3
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為
2π
3
．
（1）求ω的值；
（2）當(dāng)x∈[0，
π
6
]時(shí)，求f（x）的最值．
（3）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移
π
2
個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f，g都是由A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下）：
表1映射f的對(duì)應(yīng)法則
X 1 2 3 4
f（x） 3 4 2 1
表2映射g的對(duì)應(yīng)法則
x 1 2 3 4
g（x） 4 3 1 2
則f[g（1）]的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f，g 都是由A到A的映射（其中A={1，2，3}），其對(duì)應(yīng)法則如下表，則f[g（3）]等于（　�。�
g：x→y x 1 2 3
y 3 2 1
f：x→y x 1 2 3
y 1 1 2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f，g都是由A到A的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下）：
表1  映射f的對(duì)應(yīng)法則
原像 1 2 3 4
像 3 4 2 1
表2  映射g的對(duì)應(yīng)法則
原像 1 2 3 4
像 4 3 1 2
則與f[g（1）]相同的是（　�。�

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