Question

(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)都不在一條直線(xiàn)上，過(guò)這10個(gè)點(diǎn)的任意兩點(diǎn)可連成多少條直線(xiàn)？以這10個(gè)點(diǎn)中的任意3點(diǎn)為頂點(diǎn)可作出多少個(gè)三角形？

(2)平面內(nèi)的10個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，其余任意3點(diǎn)都不在一條直線(xiàn)上，又可連成多少條直線(xiàn)，作出多少個(gè)三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)由于平面內(nèi)兩點(diǎn)可以確定一條直線(xiàn)，且所得直線(xiàn)與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，當(dāng)平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，我們從中任取兩點(diǎn)就可確定一條直線(xiàn)，故可連成=45條直線(xiàn)． 當(dāng)平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，從中任取3點(diǎn)，就可作出一個(gè)三角形，共有=120個(gè)三角形． (2)因?yàn)檫@10個(gè)點(diǎn)中有3點(diǎn)共線(xiàn)，我們將這10個(gè)點(diǎn)分為兩類(lèi)：第一類(lèi)是共線(xiàn)的3點(diǎn)，第二類(lèi)是無(wú)3點(diǎn)共線(xiàn)的7個(gè)點(diǎn)．從第二類(lèi)的7個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)可連成條直線(xiàn)，從第二類(lèi)中任取一點(diǎn)與第一類(lèi)中任選一點(diǎn)又可以連成條直線(xiàn)；又第一類(lèi)的3個(gè)點(diǎn)連成一條直線(xiàn)．于是，這樣的10個(gè)點(diǎn)可連成＋＋1=43條直線(xiàn)． 利用同樣的方法考慮三角形問(wèn)題，從第二類(lèi)中任取3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出個(gè)三角形；從第二類(lèi)中任取兩點(diǎn)與第一類(lèi)中任取一點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出個(gè)三角形；從第二類(lèi)中任取一點(diǎn)與第一類(lèi)中任取兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出個(gè)三角形．于是過(guò)這樣的10個(gè)點(diǎn)中每3點(diǎn)可作出＋＋=35＋63＋21=119個(gè)三角形． 解決這個(gè)問(wèn)題也可用排除法．將平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中的每?jī)牲c(diǎn)連線(xiàn)，最多可連條直線(xiàn)，但其中有3點(diǎn)共線(xiàn)，而這3個(gè)點(diǎn)可連條直線(xiàn)，顯然這條直線(xiàn)不全存在，僅有一條，故10個(gè)這樣的點(diǎn)可連－＋1=45－3＋1=43條直線(xiàn)． 對(duì)于平面內(nèi)的10個(gè)點(diǎn)，以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作出個(gè)三角形，但其中共線(xiàn)的3點(diǎn)可作的個(gè)三角形不存在，故這樣的 10個(gè)點(diǎn)可作出－=120－1=119個(gè)三角形．