Question

函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．對任意非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　�。�

A．{1，2}

B．{1，4}

C．{1，2，3，4}

D．{1，4，16，64}

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的對稱性，因?yàn)閙[f（x）]²+nf（x）+p=0的解應(yīng)滿足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，進(jìn)而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應(yīng)關(guān)于對稱軸x=-

b

2a

對稱，對于D中4個數(shù)無論如何組合都找不到滿足條件的對稱軸，故解集不可能是D．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-

b

2a

設(shè)方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為y₁，y₂
則必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線
它們與f（x）有交點(diǎn)
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關(guān)于直線x=-

b

2a

稱
也就是說2（x₁+x₂）=-

2b

a

同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關(guān)于直線x=-

b

2a

對稱
那就得到2（x₃+x₄）=-

2b

a

在C中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個方程的解，2，3為一個方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}，中間兩個數(shù)4，16的對稱軸為10，而最大值和最小值1，64的對稱軸為

65

2

，
即函數(shù)的圖象不是軸對稱圖形，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)--對稱性，二次函數(shù)在高中已經(jīng)作為一個工具來解決有關(guān)問題，在解決不等式、求最值時用途很大．