Question

18．在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的條件很容易做出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，有零點(diǎn)等價(jià)于在自變量區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．

解答 解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵a∈[0，2]，
∴f'（x）=3x²+a≥0
∴f（x）是增函數(shù)，
若f（x）在[-1，1]有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則f（-1）•f（1）≤0
∴（-1-a-b）（1+a-b）≤0，
即（1+a+b）（1+a-b）≥0，
由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為2×2=4，滿足條件的面積4-$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{7}{2}$，
∴P=$\frac{\frac{7}{2}}{4}$=$\frac{7}{8}$，
故答案為：$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)幾何概型，對(duì)于這樣的問題，一般要通過把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．