Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由時，得出，則，再求導，可得函數在上是增函數，從而得到函數的單調性，即可求解函數在上的最小值； （2）由（1）知函數在上是增函數，且，使得，得，即，設，利用函數的單調性，即可求解求的取值范圍；（3）根據題意，轉化為對任意成立，令，所以，可得出的單調性，求解出的最小值，即可的取值范圍．

試題解析：（1）時，，，

，所以函數在上是增函數，

又函數的值域為R，

故，使得，

又，，所以當時，，

即函數在區(qū)間上遞增，所以

（2），

由（1）知函數在上是增函數，且，使得

進而函數在區(qū)間上遞減，在上遞增，

，

由得：，

，，

因為，不等式恒成立，

（另解：因為，不等式恒成立，

即

由，

當時取等號，）

（3）由，，

，對任意成立，

令函數，所以，

當時，，當時，，

所以當時，函數取得最小值，