設(shè)M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求橢圓的離心率．
分析：根據(jù)題意，△MF1F2是以F1F2為斜邊的直角三角形．利用直角三角形三角函數(shù)的定義，可得
|MF1|+|MF2|
|F1F2|
=
6
2
，最后結(jié)合橢圓的定義和離心率的公式，可求出橢圓的離心率．
解答：解：∵△MF1F2中，∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，
∴∠F1MF2=90°，即△MF1F2是以F1F2為斜邊的直角三角形．
∵M(jìn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，
∴|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c
∵Rt△MF1F2中，sin∠MF1F2=
|MF2|
|F1F2|
=
6
+
2
4
，sin∠MF2F1=
|MF1|
|F1F2|
=
6
-
2
4

∴
|MF2|
|F1F2|
+
|MF1|
|F1F2|
=
6
2
，即
2a
2c
=
6
2

因此橢圓的離心率e=
c
a
=
1
6
2
=
6
3
點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩焦點構(gòu)成銳角為15度的直角三角形，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與基本概念和三角函數(shù)的定義等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A1、A2，直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）垂直于x軸的一條弦，AB所在直線的方程為x=m（|m|＜a且m≠0），P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=
a2
m
于兩點Q、R，求證
OQ
•
OR
＞4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
2
3
，橢圓G上的點N到兩焦點的距離之和為12，點A、B分別是橢圓G長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸的上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一點，過M作斜率分別為k1，k2的直線，交橢圓于A，B兩點，且A，B關(guān)于原點對稱，則k1•k2=-
b2
a2
．類比橢圓的這個性質(zhì)，設(shè)M是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上的一點，過M作斜率分別為k1，k2的直線，交雙曲線于A，B兩點，且A，B關(guān)于原點對稱，則k1•k2=
b2
a2
b2
a2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)M是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求橢圓的離心率．

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