定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
求證:f(0)=1;(2)求證:對(duì)任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)證明:f(x)是R上的增函數(shù);(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范圍。
(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4) 0<x<3
(1)令a=b=0,則f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1
(2)令a=x,b=-x則 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0時(shí),f(x)>1>0,當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)>0
∴ 又x=0時(shí),f(0)=1>0
∴ 對(duì)任意x∈R,f(x)>0
(3)任取x2>x1,則f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0
∴
∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函數(shù)
(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又1=f(0),f(x)在R上遞增
∴ 由f(3x-x2)>f(0)得:x-x2>0 ∴ 0<x<3
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f(-x) | f(x) |
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