Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出{a_n}的公差，{b_n}的公比，利用a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（1）可得，a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)利用錯(cuò)位相減法，可求前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（I）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
∵a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
∴

1+2d+q4=21 1+4d+q3=13

，解得d=2，q=2．　　
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，bn=2n-1，
（Ⅱ）由（I）得，a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
S_n=1•2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1
2S_n=1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ
兩式相減可得，-S_n=1+2（2+2²+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=（3-2n）•2ⁿ-3，
則S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列及等 數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．