Question

對大于或等于2的自然數(shù)m的3次方冪有如下分解方式：2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19，則
（1）8³的分解中最小的數(shù)是________；
（2）按以上規(guī)律分解，第n個式子可以表示表示為（n+1）³=________．

Answer 1

解：（1）由分析可設(shè)8³=（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+…共8項，
8³=16n+8²
求得n=28，2n+1=57．
即在8³的分解中，最小數(shù)是57．
（2）注意觀察各個數(shù)分解時的特點，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)是2時，可以分解成兩個連續(xù)的奇數(shù)之和；當(dāng)?shù)讛?shù)是3時，可以分解成三個連續(xù)的奇數(shù)之和．
按以上規(guī)律分解，第n個式子的第一個和式是n（n+1）+1，一共有n+1項．
∴第n個式子可以表示為：
（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）
故答案為：57，（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
分析：（1）注意觀察各個數(shù)分解時的特點，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)是2時，可以分解成兩個連續(xù)的奇數(shù)之和；當(dāng)?shù)讛?shù)是3時，可以分解成三個連續(xù)的奇數(shù)之和．則當(dāng)?shù)讛?shù)是4時，可分解成4個連續(xù)的奇數(shù)之和．可設(shè)8³可連續(xù)分成2n+1，2n+3，2n+5，…之和，再相加求解n．
（2）按以上規(guī)律分解，第n個式子可以表示為（n+1）³=（n²+n+1）+（n²+n+3）+…+（n²+3n+1）．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．