已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為b;等比數(shù)列{bn}的首項為b,公比為a,其中a,b∈N+
且a1<b1<a2<b2<a3
(1)求a的值;
(2)若對于任意n∈N+,總存在m∈N+,使am+3=bn,求b的值;
(3)在(2)中,記{cn}是所有{an}中滿足am+3=bn,m∈N+的項從小到大依次組成的數(shù)列,又記Sn為{cn}的前n項和,tn和{an}的前n項和,求證:Sn≥Tn(n∈N).
【答案】分析:(1)由a<a+b<ab<a+2b,a,b∈N+,知,由此能求出a的值;
(2)由am=2+(m-1)b,bn=5•2n-1由am+3=bn可得5+(m-1)b=b•2n-1.b(2n-1-m+1)=5.由此能求出b的值;
(3)由(2)知an=5n-3,bn=5•2n-1,am=bn-3=5•2n-1-3,Cn=5•2n-1-3,Sn=5(2n-1)-3n,Tn=n(5n-1).由此能夠證明Sn≥Tn(n∈N+).
解答:解:(1)∵a<a+b<ab<a+2b,a,b∈N+,
,∴,
,∴
∴a=2或a=3(a=3時不合題意,舍去).∴a=2.

(2)am=2+(m-1)b,bn=5•2n-1由am+3=bn可得
5+(m-1)b=b•2n-1.∴b(2n-1-m+1)=5.
∴b=5

(3)由(2)知an=5n-3,bn=5•2n-1,∴am=bn-3=5•2n-1-3
∴Cn=5•2n-1-3,Sn=5(2n-1)-3n,Tn=n(5n-1).
∵S1=T1=2,S2=T2=9.
當n≥3時,Sn-Tn=5[2n-n2-n-1]
=5[(1+1)n-n2-n-1]
=5[(1+Cn1+Cn2+Cn3+…)-n2-n-1]>5[1+n+-n2-n-1]=0.
∴Sn>Tn.綜上得Sn≥Tn(n∈N+).
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認真審題,仔細求解.
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