Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，${a_{n+1}}={a_n}^2-n{a_n}+α，n∈{N^*}，α∈R$．
（1）若a_n≥2n對(duì)?n∈N^*都成立，求α的取值范圍；
（2）當(dāng)α=-2時(shí)，證明$\frac{1}{{{a_1}-2}}+\frac{1}{{{a_2}-2}}+…+\frac{1}{{{a_n}-2}}＜2（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）一方面通過(guò)令n=2可知α≥-2；另一方面，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可以證明a_n≥2n對(duì)?n∈N^*都成立；
（2）通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法可以證明a_n≥2+2^n-1，進(jìn)而放縮、利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：α的取值范圍是：[-2，+∞），
必要性：令n=2即得α≥-2；
充分性：可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1，2時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，a_k=2k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+α≥（2k）²-k•2k+α≥2k²-2≥2（k+1），
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立；
由①②可知α的取值范圍是：[-2，+∞）；
（2）證明：當(dāng)α=-2時(shí)，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$-na_n-2，
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：a_n≥2+2^n-1：
①當(dāng)n=1，2時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k≥2+2^k-1，
則a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k-2=a_k（a_k-k）-2≥（2^k-1+2）（2k-k）-2≥2+2^k，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①②可知a_n≥2+2^n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+$\frac{1}{{a}_{2}-2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-2}$
≤$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．