Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin2

A+B

2

=

3

2

sinC．
（I）求角C的大�。�
（Ⅱ）若a+b=5，c=

7

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）把已知條件的左邊利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡后移項(xiàng)，然后利用兩角差的正弦韓函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把已知化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值即可求出角C的大��；
（Ⅱ）利用第1問求出的角C分別求出sinC和cosC的值，然后利用余弦定理表示出一個(gè)關(guān)系式，配方后把a(bǔ)+b，c和cosC的值代入即可求出ab的值，然后根據(jù)三角形的面積公式，把a(bǔ)b的值和sinC的值代入即可求出面積．

解答：解：（I）由sin2

A+B

2

=

3

2

sinC化簡得：

1-cos(A+B)

2

=

3

2

sinC，
得

1-cos(π-C)

2

=

3

2

sinC，
得

1+cosC

2

=

3

2

sinC，即sin（C-

π

6

）=

1

2

，
因?yàn)?＜C＜π，所以-

π

6

＜C-

π

6

＜

5π

6

，所以C-

π

6

=

π

6

，解得C=

π

3

；
（Ⅱ）由cosC=cos

π

3

=

1

2

，sinC=sin

π

3

=

3

2

，
根據(jù)余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
把c=

7

，a+b=5代入得：7=25-3ab，所以ab=6，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生利用運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，靈活運(yùn)用余弦定理以及三角形的面積公式化簡求值，是一道綜合題．