Question

已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

，
①求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
②已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：①首項(xiàng)利用向量的數(shù)量積求出三角函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用恒等變換把函數(shù)轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，最后求出最小正周期．
②利用①求出A的大小，再利用余弦定理求出b的長(zhǎng)，最后求出三角形的面積．

解答： 解：（1）已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），
則：函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin2x+

3

sinxcosx+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2
=sin（2x-

π

6

）+2
所以：函數(shù)f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π
（2）由（1）得知：A∈[0，

π

2

]
所以：-

π

6

≤2A-

π

6

≤

5π

6

當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

時(shí)，f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值．
解得：A=

π

3

已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，a=2

3

，c=4，
利用余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA
12=b2+16-2×b×4×

1

2

b²-4b+4=0
解得：b=2
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，三角恒等式的變換，三角函數(shù)的最值和周期，余弦定理得應(yīng)用，三角形面積的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型．