Question

觀察下面一組組合數(shù)等式：
1•

C

1 n

=n•

C

0 n-1

；
2•

C

2 n

=n•

C

1 n-1

；
3•

C

3 n

=n•

C

2 n-1

…
（Ⅰ）由以上規(guī)律，請寫出第k（k∈N^*）個等式并證明；
（Ⅱ）隨機變量X～B（n，p），求證：EX=np．

Answer 1

考點：組合及組合數(shù)公式,歸納推理

專題：計算題,證明題,規(guī)律型

分析：（I）由已知中的式子，分析出第k（k∈N^*）個等式為：k•

C

k n

=n•

C

k-1 n-1

，k∈N^*，進而根據(jù)組合數(shù)公式證明可得結(jié)論．
（II）將X分解成n個相互獨立的，都服從以p為參數(shù)的（0-1）分布的隨機變量之和：X=X₁+X₂+…+X_n，X_i～b（1，p），i=1，2，…，n．P{X_i=0}=1-p，P（X_i=1）=p．進而可得結(jié)論．

解答： 解：（I）由：
1•

C

1 n

=n•

C

0 n-1

；
2•

C

2 n

=n•

C

1 n-1

；
3•

C

3 n

=n•

C

2 n-1

…
可得第k（k∈N^*）個等式為：k•

C

k n

=n•

C

k-1 n-1

，k∈N^*，
證明如下：k•

C

k n

=

kn!

k!(n-k)!

=

n(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=n•

C

k-1 n-1

證明：（II）將X分解成n個相互獨立的，都服從以p為參數(shù)的（0-1）分布的隨機變量之和：
X=X₁+X₂+…+X_n，X_i～b（1，p），i=1，2，…，n．
P{X_i=0}=1-p，P（X_i=1）=p．
EX_i=0×（1-p）+1×p=p，
E（X_i²）=0²×（1-p）+1²×p=p，
DX_i=E（X_i²）-（EX_i）²=p-p²=p（1-p）．
EX=EX₁+EX₂+…+EX_n=np，

點評：本題考查的知識點是歸納推理，組合數(shù)公式，隨機變量，熟練掌握排列數(shù)公式和組合公式，是解答的關鍵．