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9.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD為菱形,∠ADC=60°,BB1⊥底面ABCD,AA1=AC=4,E是CD的中點(diǎn),
(1)求證:B1C∥平面AC1E;
(2)求幾何體C1-AECB1的體積.

分析 (1)連結(jié)B1D交AC1于O,連結(jié)OE,由直棱柱的結(jié)構(gòu)特征可證四邊形ADC1B1是平行四邊形,故O是B1D的中點(diǎn),于是OE∥B1C,從而B1C∥平面AC1E;
(2)將幾何體分解成三棱錐C1-ACE和三棱錐A-CB1C1

解答 (1)證明:連結(jié)B1D交AC1于O,連結(jié)OE,
∵B1C1=BC=AD,∴四邊形ADC1B1是平行四邊形,
∴O是B1D的中點(diǎn),又E是CD的中點(diǎn),
∴OE∥B1C,∵OE?平面AC1E,B1C?平面AC1E,
∴B1C∥平面AC1E.
(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴△ACD,△ABC是等邊三角形,
取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)AM,則AM⊥BC,
由AM⊥BB1,∴AM⊥平面BCC1B1,
∴AM=4222=23,C1到平面ABCD的距離h=AA1=4,
S△ACE=12S△ACD=12×34×42=23,SCB1C1=12×4×4=8.
∴VC1ACE=13SACEh=13×23×4=833
VACB1C1=13SCB1C1•AM=13×8×23=1633
∴幾何體C1-AECB1的體積V=VC1ACE+VACB1C1=83

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定,棱錐的體積計(jì)算,屬于中檔題.

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