Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)與最值的關(guān)系確定實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-a(x＞0)，
當a≤0時，f′（x）＞0（2分），
當a＞0時，由f′(x)=0得x=

1

a

＞0
當x變化時，f'（x），f（x）隨x變化情況如下表：
綜上可知：當a≤0時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），
當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為(0，

1

a

)，減區(qū)間為(

1

a

，+∞)，
（2）若函數(shù)f（x）≤1恒成立，只需f（x）_max≤1，
當a≤0時，f（x）的值趨向于無窮大，不成立，
當a＞0時，由（1）知，f（x）有唯一的極大值且為最大值，
∴f（

1

a

）=ln

1

a

-a

1

a

=-lna-1≤1，
∴l(xiāng)na≥-2，
∴a≥e^-2，
即函數(shù)f（x）≤1恒成立時，a的取值范圍為[e^-2，+∞）．

點評：掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會熟練運用導數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．