Question

（2013•濰坊一模）某電視臺(tái)舉辦有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①每人最多答4個(gè)小題；②答題過程中，若答對(duì)則繼續(xù)答題，答錯(cuò)則停止答題；③答對(duì)每個(gè)小題可得10分，答錯(cuò)得0分．甲、乙兩人參加了此次競(jìng)答活動(dòng)，且相互之間沒有影響．已知甲答對(duì)每個(gè)題的概率為

1

3

，乙答對(duì)每個(gè)題的概為

2

3

．
（I）設(shè)甲的最后得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和為20分的概率．

Answer 1

分析：（I）X的可能取值為：0，10，20，30，40，分別求得各自對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，進(jìn)而可得的期望；（Ⅱ）設(shè)“甲、乙最后得分之和為20分”為事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”為事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”為事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”為事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分別求得概率，由概率的加法公式可得答案．

解答：解：（I）X的可能取值為：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-

1

3

=

2

3

，P（X=10）=

1

3

•(1-

1

3

)=

2

9

，
P（X=20）=(

1

3

)2•(1-

1

3

)=

2

27

，P（X=30）=(

1

3

)3•(1-

1

3

)=

2

81

，
P（X=40）=(

1

3

)4=

1

81

，故X的分布列如下：

X	0	10	20	30	40
P	2 3	2 9	2 27	2 81	1 81

故所求的數(shù)學(xué)期望EX=0×

2

3

+10×

2

9

+20×

2

27

+30×

2

81

+40×

1

81

=

400

81

；
（Ⅱ）設(shè)“甲、乙最后得分之和為20分”為事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”為事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”為事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”為事件D，
則事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）=(1-

1

3

)•(

2

3

)2(1-

2

3

)=

8

81

，P（C）=

1

3

•(1-

1

3

)•

2

3

•(1-

2

3

)=

4

81

，P（D）=(

1

3

)2(1-

1

3

)•

1

3

=

2

81

，
故P（A）=P（B+C+D）=

8

81

+

4

81

+

2

81

=

14

81

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及互斥事件的應(yīng)用，屬中檔題．