Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

1-x

ax

（a＞0）．
（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（2）設(shè)f（x）在0＜x≤1的最小值為g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在（0，

1

a

）上是單調(diào)遞減的，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增的．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）討論當(dāng)0＜

1

a

≤1即a≥1時(shí)，當(dāng)

1

a

＞1即0＜a＜1時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值．

解答： 解：（1）f（x）=ax+

1

ax

-

1

a

f（x）在（0，

1

a

）上是單調(diào)遞減的，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增的；
理由如下：設(shè)x₁，x₂是（0，

1

a

）上的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，
△y=f（x₂）-f（x₁）=ax₂+

1

ax2

-ax₁-

1

ax1

=a（x₂-x₁）+

1

ax2

-

1

ax1

=a（x₂-x₁）+

x1-x2

ax1x2

=（x₂-x₁）（a-

1

ax1x2

）
=（x₂-x₁）•

a2x1x2-1

ax1x2

∵0＜x₁＜

1

a

，0＜x₂＜

1

a

∴0＜x₁x₂＜

1

a2

∴0＜ax₁x₂＜1，
ax₁x₂-1＜0   又△x=x₂-x₁＞0，ax₁x₂＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＜0
∴f（x）在（0，

1

a

）上是單調(diào)遞減，同理可證f（x）在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增； 
（2）當(dāng)

1

a

＞1即0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴f_min（x）=f（1）=a；
當(dāng)0＜

1

a

≤1即a≥1時(shí)，f（x）在（0，

1

a

]單調(diào)遞減，在[

1

a

，1]單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（

1

a

）=2-

1

a

∴g（a）=

a，0＜a＜1 2- 1 a ，a≥1

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．