已知向量
a
=(-1,2),
b
=(1,1),t∈R.
(I)求<
a
,
b
>;  (II)求|
a
+t
b
|的最小值及相應(yīng)的t值.
分析:(I)利用向量的夾角公式cos<
a
b
>= 
a
• 
b
|
a
|•| 
b
|
=
x1x2+y1y2
x 12+y 12
x 22+y 22
計(jì)算夾角的余弦值,再由夾角的范圍確定夾角的值
(II)利用向量數(shù)量積的性質(zhì)|
a
| 2
=
a
 2
,將|
a
+t
b
|轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),利用配方法求二次函數(shù)的最值即可得所求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的t值
解答:解:(I)∵
a
=(-1,2),
b
=(1,1),
∴cos<
a
b
>=
a
b
|
a
||
b
|
=
-1+2
1+4•
1+1
=
1
10
=
10
10

∵<
a
,
b
>∈(0,π)∴
a
,
b
>=arccos 
10
10

(II)∵|
a
+t
b
|=
(
a
+t
b
2
=
a
2
+2t
a
b
t2
b
2
=
2(t+
1
2
)
2
+
9
2
,
∴當(dāng)t=-
1
2
時(shí),|
a
+t
b
|取最小值 
9
2
=
3
2
2
點(diǎn)評(píng):本題考察了向量的夾角公式,向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)向量數(shù)量積運(yùn)算在解決夾角和長(zhǎng)度問(wèn)題中的重要應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,2),
b
=(2,3).若向量
c
滿(mǎn)足(
c
+
a
)∥
b
,
c
⊥(
a
+
b
),則
c
=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,-2),
b
=(m,4),且
a
b
,那么2
a
-
b
等于
(4,-8)
(4,-8)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,2),
a
b
=5,|
a
-
b
|=2
5
,則|
b
|等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,0),
b
=(-
3
,3),則向量
a
、
b
的夾角為( 。
A、
π
6
B、
π
3
C、
3
D、
6

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