Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求S_n的最大值；
（III）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可知，a₁=s₁，當(dāng)n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可求a_n，然后檢驗(yàn)a₁=S₁是否適合上式，從而可求通項(xiàng)
（II）解法1：由等差數(shù)列的求和公式求出s_n，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求s_n取得最大值
解法2：先求出滿足a_n＞0的n的范圍，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)可判斷s_n取得最大值
（III） 令a_n=11-2n≥0，解出n的范圍，然后可得T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)去掉絕對(duì)值符合，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=9；-------------（1分）
當(dāng)n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n，-----（3分）
n=1 時(shí)，a₁=S₁=9 也適合上式
∴a_n=11-2n（n∈N^*）．-------------（4分）
（II）解法1：sn=10n-n2=-（n-5）²+25，-------------（6分）
所以，當(dāng)n=5時(shí)，s_n取得最大值25．-------------（7分）
解法2：令a_n=11-2n≥0，得n≤

11

2

，
即此等差數(shù)列前5項(xiàng)為正數(shù)，從第6項(xiàng)起開始為負(fù)數(shù)，
所以，s₅最大，-------------（6分）
故（S_n）_max=s₅=25．-------------（7分）
（III） 令a_n=11-2n≥0，得n≤

11

2

．-------------（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＞0，b_n=a_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=10n-n²，-------------（9分）
當(dāng)n＞5 時(shí)，a_n＜0，b_n=-a_n，T_n=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+…a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50-------------（11分）
綜上可知，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=

10n-n2，n≤5 50-10n+n2，n＞5

．-------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，公式法和分組求和法．b_n=|a_n|含有絕對(duì)值符號(hào)，所以還要進(jìn)行分類討論．