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11.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1•an=2n
(1)求an
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1•an=2n.n=1時(shí),可得a2=2.n≥2時(shí),an+1ananan1=an+1an1=2n2n1=2,因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列,公比為2.即可得出.
(2)對(duì)n分類(lèi)討論,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1•an=2n
∴n=1時(shí),a2a1=21,解得a2=2.
n≥2時(shí),an+1ananan1=an+1an1=2n2n1=2,
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列,公比為2.
∴an=a2k-1=2k-1=2n12
an=a2k=2×2k-1=2k=2n2
∴an=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}},n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}},n為偶數(shù)}\end{array}\right.
(2)當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k
=\frac{{2}^{k}-1}{2-1}+\frac{2({2}^{k}-1)}{2-1}=3(2k-1)=3({2}^{\frac{n}{2}}-1)
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),Sn=Sn-1+an=3({2}^{\frac{n-1}{2}}-1)+{2}^{\frac{n-1}{2}}={2}^{\frac{n+3}{2}}-3.
∴Sn=\left\{\begin{array}{l}{3({2}^{\frac{n}{2}}-1),n為偶數(shù)}\\{{2}^{\frac{n+3}{2}}-3,n為奇數(shù)}\end{array}\right.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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