Question

已知中心在原點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)A₁、A₂在x軸上，離心率為e₁=

21

3

的雙曲線C₁經(jīng)過點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C₂以A₁、A₂為左、右焦點(diǎn)，離心率為e₂，且e₁、e₂為方程x²+mx+

21

5

=0的兩實(shí)根，求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線的方程，由離心率公式，和P在雙曲線上，滿足雙曲線方程，解a，b的方程即可得到；
（2）由（1）可得橢圓的c=3，由韋達(dá)定理，可得橢圓的離心率，再由離心率公式，a，b，c的關(guān)系，即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線C₁的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵e1=

21

3

，∴

a2+b2

a2

=

7

3

，∴

b2

a2

=

4

3

，①
又P（6，6）在雙曲線C₁上，∴

36

a2

-

36

b2

=1．②
由①、②得a²=9，b²=12，
∴雙曲線C₁的方程為

x2

9

-

y2

12

=1．
（2）∵橢圓C₂的焦點(diǎn)為A₁、A₂，即（-3，0）、（3，0），
∴在橢圓C₂中，c=3．
又e₁，e₂為方程x2+mx+

21

5

=0的兩實(shí)根，
∴

21

3

•e2=

21

5

，所以e2=

3

5

，
∴a=5，b=4，
∴橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓和雙曲線的方程及性質(zhì)：離心率，考查待定系數(shù)法求方程的方法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．