Question

已知式子（2x²+

1

x

）⁵．
（Ⅰ）求展開式中含

1

x2

的項(xiàng)；
（Ⅱ）若（2x²+

1

x

）⁵的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和比（

x

+

2

x

）ⁿ的展開式中的第三項(xiàng)的系數(shù)少28，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）在式子（2x²+

1

x

）⁵的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于-2，求得r的值，可得展開式中含

1

x2

的項(xiàng)．
（Ⅱ）先求得（

x

+

2

x

）ⁿ的展開式中的第三項(xiàng)，結(jié)合題意可得題意可得2⁵=

C

2 n

×4-28，由此求得n的值．

解答： 解：（Ⅰ）式子（2x²+

1

x

）⁵的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•2^5-r•x^10-3r，
令10-3r=-2，求得r=4，故展開式中含

1

x2

的項(xiàng)為 T₅=

C

4 5

×2×

1

x2

=

10

x2

．
（Ⅱ）（

x

+

2

x

）ⁿ的展開式中的第三項(xiàng)為 T₃=

C

2 n

•4•x

n

2

-3，
由題意可得，2⁵=

C

2 n

×4-28，解得

C

2 n

=15，∴n=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．