Question

2．已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-（x-2）²+1．若函數(shù)y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，3）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• C． （3，12）
• D． （$\frac{4}{3}$，12）

Answer 1

分析 令x=-1，求出f（1），可得函數(shù)f（x）的周期為2，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)．
當x∈[2，3]時，f（x）=-（x-2）²+1，
若x∈[0，1]，則x+2∈[2，3]，
則f（x）=f（x+2）=-（x+2-2）²+1=-x²+1，
即f（x）=-x²+1，x∈[0，1]，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
即f（-x）=-x²+1=f（x），
即f（x）=-x²+1，x∈[-1，0]，
綜上f（x）=-x²+1，x∈[-1，1]，
由函數(shù)y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）=0，
得函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{11}{12}$），
設(shè)y=a（x-$\frac{11}{12}$），
作出函數(shù)f（x）和y=a（x-$\frac{11}{12}$）的圖象如圖，
要使函數(shù)y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三個零點，
則a＞0，
當x∈[1，2]，則x-2∈[-1，0]，
則f（x）=f（x-2）=-（x-2）²+1，x∈[1，2]，
當x∈[3，4]，則x-2∈[1，2]，
則f（x）=f（x-2）=-（x-4）²+1，x∈[3，4]，
由-（x-2）²+1=a（x-$\frac{11}{12}$）整理得x²+（a-4）x+3-$\frac{11}{12}$a=0，
由判別式△=（a-4）²-4（3-$\frac{11}{12}$a）=0，
整理得3a²-13a+12=0得a=3（由圖象知不合適）或a=$\frac{4}{3}$，
由-（x-4）²+1=a（x-$\frac{11}{12}$）整理得x²+（a-8）x+15-$\frac{11}{12}$a=0，
由判別式△=（a-8）²-4（15-$\frac{11}{12}$a）=0，
整理得3a²-37a+12=0得a=12（由圖象知不合適）或a=$\frac{1}{3}$，
綜上，要使函數(shù)y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三個零點，
則$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{4}{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．