Question

對非零實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“⊕”滿足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z．若f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x，則下列判斷正確的是（　�。�

• A、f（x）是增函數(shù)又是奇函數(shù)
• B、f（x）是減函數(shù)又是奇函數(shù)
• C、f（x）是增函數(shù)又是偶函數(shù)
• D、f（x）是減函數(shù)又是偶函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷,指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：理解新定義的含義，求出f（x）的解析式，再判定各選項(xiàng)是否正確即可．

解答：解：根據(jù)題意，∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令x=y=z，則x⊕（x⊕x）=（x⊕x）•x，
又∵x⊕x=1，
∴x⊕1=x；
又∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令y=z，則x⊕（y⊕y）=（x⊕y）•y，
∴（x⊕y）•y=x⊕1=x，
∴x⊕y=

x

y

；
∴f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x
=

e2x

ex

-

ex

e2x

=e^x-e^-x；
∴f（x）的定義域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)；
又∵y=e^x是增函數(shù)，∴y=e^-x是減函數(shù)，
∴y=-e^-x是增函數(shù)，
∴f（x）=e^x-e^-x是R上的增函數(shù)；
∴f（x）是奇函數(shù)也是增函數(shù)；
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了求新定義的函數(shù)的解析式問題，解題時(shí)應(yīng)理解題意，求出f（x）的解析式，再判定各選項(xiàng)是否正確．