直線y=-x+4與拋物線y2=2px(p>0)交于兩點(diǎn)A、B,如果弦|AB|的長度為4
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(1)求P的值;
(2)求證:OA⊥OB(O為原點(diǎn)).
分析:(1)聯(lián)立直線與拋物線方程,化為關(guān)于x的一元二次方程后利用弦長公式列式求p的值;
(2)直接利用OA和OB所對應(yīng)的向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明.
解答:(1)解:直線AB的方程為y=-x+4,聯(lián)立
y=-x+4
y2=2px
,得x2-2(p+4)x+16=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),得x1+x2=2(p+4),x1x2=16.
由|AB|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2(x1-x2)2
=
2
(x1+x2)2-4x1x2

2
4(p+4)2-4×16
=4
10
,解得p=2,滿足△=4(p+4)2-64>0;
(2)證明:x1+x2=2(p+4)=12,x1x2=16,
∴x1x2+y1y2=x1x2+(-x1+4)(-x2+4)
=2x1x2-4(x1+x2)+16=2×16-4×12+16=0.
所以O(shè)A⊥OB.
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用,考查了平面向量的數(shù)量積判斷垂直關(guān)系,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)直線y=x-4與拋物線相交于AB兩點(diǎn),求證:OA⊥OB

 

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(本題滿分10分)

直線y=x-4與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),求△ABF的面積。

 

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