【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為，為圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）如圖，過作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).

（1）求證：；

（2）試問過，的直線是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）（1）由題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理即可得到結(jié)果；（2）直線的方程為，可化為 .從而得到定點(diǎn).

（Ⅰ）解：設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，連接，，.

∵，∴.

∴.

∴.∴.

又∵，，∴.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）（1）證明：① 當(dāng)直線斜率為0時(shí)，的方程為，∴，等式顯然成立；

②當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，由題意，設(shè)的方程為.

∵，，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則.

整理，得.

，

，.

∴

.

∴等式成立.

（2）解：過，的直線過定點(diǎn).

①當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，∵，

∴直線的方程為，

即，

即.

由（1）可知，，

∴

.

∴ .

∴過，的直線過定點(diǎn)；

②當(dāng)直線斜率為0時(shí)，的方程為，直線也過定點(diǎn).

綜上可知，過，的直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某理財(cái)公司有兩種理財(cái)產(chǎn)品和．這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：

產(chǎn)品

產(chǎn)品（其中）

（Ⅰ）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品和產(chǎn)品進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求的取值范圍；

（Ⅱ）丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，在產(chǎn)品和產(chǎn)品之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

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【題目】如圖，在空間幾何體ABCDFE中，底面是邊長為2的正方形，，，.

（1）求證：AC//平面DEF；

（2）已知，若在平面上存在點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置.

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【題目】“雙十一網(wǎng)購狂歡節(jié)”源于淘寶商城（天貓）2009年11月11日舉辦的促銷活動(dòng)，當(dāng)時(shí)參與的商家數(shù)量和促銷力度均有限，但營業(yè)額遠(yuǎn)超預(yù)想的效果，于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動(dòng)的固定日期.如今，中國的“雙十一”已經(jīng)從一個(gè)節(jié)日變成了全民狂歡的“電商購物日”.某淘寶電商為分析近8年“雙十一”期間的宣傳費(fèi)用（單位：萬元）和利潤（單位：十萬元）之間的關(guān)系，搜集了相關(guān)數(shù)據(jù)，得到下列表格：

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明與之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系（當(dāng)時(shí)，說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系）；

（2）建立關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到），預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用為萬元時(shí)的利潤，

附參考公式：回歸方程中和最小二乘估計(jì)公式分別為

，，相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù)：

，，，

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【題目】某校高二（20）班共50名學(xué)生，在期中考試中，每位同學(xué)的數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)都在區(qū)間內(nèi)，將該班所有同學(xué)的考試分?jǐn)?shù)分為七個(gè)組：，，，，，，，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這次考試學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）已知成績(jī)?yōu)?04分或105分的同學(xué)共有3人，現(xiàn)從成績(jī)?cè)?/span>中的同學(xué)中任選2人，則至少有1人成績(jī)不低于106分的概率為多少？（每位同學(xué)的成績(jī)都為整數(shù)）

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【題目】公交車的數(shù)量太多容易造成資源浪費(fèi)，太少又難以滿足乘客的需求，為了合理布置車輛，公交公司在2路車的乘客中隨機(jī)調(diào)查了50名乘客，經(jīng)整理，他們候車時(shí)間（單位：）的莖葉圖如下：

（Ⅰ）將候車時(shí)間分為八組，作出相應(yīng)的頻率分布直方圖；

（Ⅱ）若公交公司將2路車發(fā)車時(shí)間調(diào)整為每隔15發(fā)一趟車，那么上述樣本點(diǎn)將發(fā)生變化（例如候車時(shí)間為9的不變，候車時(shí)間為17的變?yōu)?/span>2），現(xiàn)從2路車的乘客中任取5人，設(shè)其中候車時(shí)間不超過10的乘客人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．

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【題目】選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)．

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【題目】已知圓，圓過點(diǎn)且與圓相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線．

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（2）點(diǎn)，為曲線上的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），記直線的斜率分別為，若，請(qǐng)判斷直線是否過定點(diǎn). 若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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【題目】已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.

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(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．

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