Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）把函數(shù)f（x）圖象向右平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）圖象，當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由圖得到A及周期，進(jìn)一步得到ω，再由f（$\frac{2}{3}$）=2求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)的圖象平移求得g（x）的解析式，再由x的范圍求得函數(shù)y=g（x）的值域．

解答 解：（1）由圖，得A=2，$\frac{T}{4}=\frac{2}{3}-（-\frac{1}{3}）=1$，得T=4，則$ω=\frac{π}{2}$，
∴$f（x）=2sin（\frac{π}{2}x+φ）$，
由$f（\frac{2}{3}）=2sin$（$\frac{π}{2}×\frac{2}{3}$+φ）=2，得sin（$\frac{π}{3}+$φ）=1，
∴$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即φ=$\frac{π}{6}+2kπ$，（k∈Z），
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$；
（2）y=g（x）=2sin[$\frac{π}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}$），
∵x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]，故$\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}≤\frac{7π}{6}$，則$-\frac{1}{2}≤sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{12}）≤1$，即-1≤f（x）≤2，
∴函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．