Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax（x∈R，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f′（0）=a．
（Ⅰ）求f′（ln2）；
（Ⅱ）證明：f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ）記h（x）=f′（x）-f（x），求證：h（1）+h（2）+…+h（n）＜+1（n∈N*）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax，∴f′（x）=e^x+（x-a²）e^x-e^-x-a，
∴f′（0）=e⁰+（x-a²）e⁰-e^-0-a=-a²-a=-a，∴a²=0，∴a=0，故f′（x）=e^x+xe^x-e^-x，
∴f′（ln2）=e^ln2+2•e^ln2-e^-ln2 =2+2ln2-=+ln4．
（Ⅱ）由（Ⅰ） f（x）=xe^x+e^-x，f′（x）=（1+x）e^x-e^-x，
當(dāng)x≤-1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-1時(shí)，f″（x）=（2+x）e^x+e^-x＞0，f′（x）在（-1，+∞）上遞增，而f′（0）=0，
則當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0．
綜上，f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅲ） h（x）=f′（x）-f（x）=（1+x）e^x-e^-x-xe^x-e^-x =e^x-2e^-x，
h（1）+h（2）+…+h（n）=（e-2e^-1）+（e²-2e^-2）+（e³-2e^-3）+…+（eⁿ-2e^-n）
=（e+e²+…+eⁿ）-2（e^-1+e^-2+…+e^-n）=-2=
=＜＜+＜+1．
而+1≥+1=+1＞+1．
所以，h（1）+h（2）++h（n）＜+1（n∈N^*）．
分析：（Ⅰ）求f′（x），根據(jù)f′（0）=-a，求出a的值，即可得到f′（ln2）的值．
（Ⅱ） 根據(jù)f′（x）=（1+x）e^x-e^-x，判斷f′（x）在（-∞，0]上小于0，f′（x）在[0，+∞）上大于0，
從而得到f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅲ） 化簡(jiǎn)h（x）的解析式，可得h（1）+h（2）+…+h（n）的解析式，拆項(xiàng)利用等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算化簡(jiǎn)，
再進(jìn)行放大，可得它小于+1，再證 +1≥+1=+1＞+1，從而得到不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，將要證的不等式的左邊放大，是解題的難點(diǎn)．