Question

如圖，三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心，M為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明平面平面，證明面面垂直，先證線(xiàn)面垂直，即證一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，本題根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與平面垂直，由已知平面，可得，由題意可知，是等腰三角形，且為重心，既得，從而得平面，可證平面平面；（2）當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，求線(xiàn)面角，傳統(tǒng)方法是找線(xiàn)和射影所成的角，本題找射影比較麻煩，可用向量法來(lái)求，過(guò)作的平行線(xiàn)為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，利用線(xiàn)面角的正弦值等于線(xiàn)和法向量所成角的余弦值即可求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

試題解析：（1）取中點(diǎn)，連接、，

∵平面，∴

等腰中，為重心，∴

∴平面

∴平面平面 6分

（2）中， ∴

∵平面 ∴

∴ ∴

過(guò)作的平行線(xiàn)為軸，為軸，為軸

建立空間直角坐標(biāo)系

∴

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為

設(shè)平面的法向量為

∴

∴ 12分

考點(diǎn)：面面垂直的判斷定理，直線(xiàn)與平面所成的角的求法．