Question

已知命題p：

4

x-1

≤-1，命題q：x²-x＜a²-a，且?q的一個充分不必要條件是?p，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：命題p：

4

x-1

≤-1，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得-3≤x＜1．由于?q的一個充分不必要條件是?p，
可得p是q充分不必要條件，及命題q：x²-x＜a²-a，可得a²-a＞（x²-x）_max，x∈[-3，1）．再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可解出．

解答： 解：命題p：

4

x-1

≤-1，化為

x+3

x-1

≤0，即（x-1）（x+3）≤0，且x-1≠0，解得-3≤x＜1；
∵?q的一個充分不必要條件是?p，
∴p是q充分不必要條件．
∵命題q：x²-x＜a²-a，
∴a²-a＞（x²-x）_max，x∈[-3，1）．
令f（x）=x²-x=(x-

1

2

)2+

3

4

≤f（-3）=12，
∴a²-a＞12，
解得a＞4或a＜-3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）∪（4，+∞）．
故答案為：（-∞，-3）∪（4，+∞）．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．