Question

函數f（x）的定義域為D，若函數f（x）滿足：（1）f（x）在D上為單調函數；（2）存在區(qū)間[a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域為[

a

2

，

b

2

]，則稱函數f（x）為“取半函數”．若f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，且c≠1）為“取半函數”，則t的取值范圍是（　�。�

• A、（-

  1

  4

  ，

  1

  4

  ）
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、（0，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據復合函數的單調性，先判斷函數f（x）的單調性，然后根據條件建立方程組，轉化為一元二次方程根的存在問題即可得到結論．

解答： 解：若c＞1，則函數y=c^x+t為增函數，y=log_cx，為增函數，∴函數f（x）=log_c（c^x+t）為增函數，
若0＜c＜1，則函數y=c^x+t為減函數，y=log_cx，為減函數，∴函數f（x）=log_c（c^x+t）為增函數，
綜上：函數f（x）=log_c（c^x+t）為增函數，
若函數f（x）=log_c（c^x+t）（c＞0，c≠1）是函數f（x）為“取半函數”．

f(a)= a 2 f(b)= b 2

，
所以a，b是方程log_c（c^x+t）=

x

2

，兩個不等實根，
即a，b是方程c^x+t=c 

x

2

兩個不等實根，
化簡得出：c^x-

cx

+t=0，
可以轉化為：m²-m+t=0有2個不等正數根．
所以

t＞0 △=1-4t＞0

求解得出：0＜t＜

1

4

故選：B．

點評：本題主要考查與指數函數和對數函數有關的信息題，判斷函數的單調性是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．