Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}-{e^{-x}}（a∈R$且x＞0）．若存在實(shí)數(shù)p，q（p＜q），使得f（x）≤0的解集恰好為[p，q]，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{e}$]
• B． （一∞，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （一∞，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 分別討論a的取值范圍，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-e^-x＜0，則不存在f（x）≤0的解集恰為[p，q]，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則不存在f（x）≤0的解集恰為[p，q]，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f（x）≤0得$\frac{a}{x}$≤e^-x，
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式等價(jià)為a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
即當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴若存在實(shí)數(shù)p，q，使得f（x）≥0的解集恰為[p，q]，
則必有a＜$\frac{1}{e}$，
即0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．