Question

6．已知，點P（x，y）的坐標滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y≤6}\\{y-1≥0}\end{array}\right.$設(shè)A（2，0），則|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP（O為坐標原點）的最大值為1．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積得|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP=x，再利用z的幾何意義求最值．

解答 解：在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP=$\frac{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OA}|cos∠AOP}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{（2，0）•（x，y）}{2}$═$\frac{2x}{2}=x$，
令z=x，
平移直線x=z，
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點A時，x最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=6}\end{array}\right.$，解得x=5，y=1，
所以|$\overrightarrow{OP}$|•cos∠AOP的最大值為1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值．巧妙識別目標函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)．