Question

5．已知橢圓與雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$共同焦點(diǎn)，它們的離心率之和為$\frac{5}{2}$，則此橢圓方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{8}=1$
• B． $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$
• C． $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 求得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)和離心率，可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=2，即a²-b²=4，運(yùn)用離心率公式解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的焦點(diǎn)為（±2，0），
離心率為2，
由題意可設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
可得c=2，即a²-b²=4，
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．