Question

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（3，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是

1

3

．
①求點(diǎn)M的軌跡方程；
②過點(diǎn)（2

3

，0）作傾斜角為45°的直線交M的軌跡于D、E兩點(diǎn)，求|DE|．

Answer 1

分析：①利用斜率公式即可得出；
②把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可得出．

解答：解：①設(shè)點(diǎn)M（x，y），（（x≠±3），則kAM=

y

x+3

，kBM=

y

x-3

，
由題意得

y

x+3

×

y

x-3

=

1

3

，化為

x2

9

-

y2

3

=1．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

9

-

y2

3

=1，（x≠±3）；
②由題意得直線的方程為y=x-2

3

，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x-2 3 x2 9 - y2 3 =1

，消去y得2x2-12

3

x+45=0，
△＞0，∴x1+x2=6

3

，x1x2=

45

2

．
∴|DE|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(6 3 )2-4× 45 2 ]

=6．
因此|DE|=6．

點(diǎn)評：熟練掌握直線與圓錐曲線的相交弦問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式、直線的斜率公式是解題的關(guān)鍵．