Question

6．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=12，且曲線C的左焦點(diǎn)F在直線l上．
（Ⅰ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．求|FA|•|FB|的值；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為P，求P的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出曲線C的普通方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出；
（II）設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則根據(jù)x，y的關(guān)系消元得出P關(guān)于x（或y）的函數(shù)，求出此函數(shù)的最大值．

解答 解：（I）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+3y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴曲線C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（-2$\sqrt{2}$，0）．
∵F（-2$\sqrt{2}$，0）在直線l上，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將直線l的參數(shù)方程代入x²+3y²=12得：t²-2t-2=0，
∴|FA|•|FB|=|t₁t₂|=2．
（II）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)為M（x，y）（0$＜x＜2\sqrt{3}$，0＜y＜2），
則x²+3y²=12，∴x=$\sqrt{12-3{y}^{2}}$．
∴P=4x+4y=4$\sqrt{12-3{y}^{2}}$+4y．
令f（y）=4$\sqrt{12-3{y}^{2}}$+4y，則f′（y）=$\frac{-12y}{\sqrt{12-3{y}^{2}}}+4$．
令f′（y）=0得y=1，
當(dāng)0＜y＜1時(shí)，f′（y）＞0，當(dāng)1＜y＜2時(shí)，f′（y）＜0．
∴當(dāng)y=1時(shí)，f（y）取得最大值16．
∴P的最大值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，函數(shù)的最值，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．