Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x），其圖象為連續(xù)不斷的曲線，且滿足f（2+x）=f（-x），（x-1）f′（x）＞0，若f（x）＞f（x+2），則x∈

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x+1），將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（2+x）=f（-x），則函數(shù)關(guān)于x=1對稱，
由（x-1）f′（x）＞0可知當(dāng)x＞1時f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
設(shè)g（x）=f（x+1），則g（x）關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x＞0時函數(shù)遞增，x＜0時，函數(shù)遞減．
則f（x）＞f（x+2），等價為f（x-1+1）＞f（x+1+1），
即g（x-1）＞g（x+1），
則等價為g（|x-1|）＞g（|x+1|），
則|x-1|＞|x+1|．
平方得x²-2x+1＞x²+2x+1，
即x＜0，
故不等式f（x）＞f（x+2）的解為（-∞，0），
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題主要考查不等式的解法，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性和對稱性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．