Question

已知f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且它們的定義域都為（-1，1），又f(x)+g(x)=

1

x+1

．
（1）求f（x）和g（x）的表達(dá)式；
（2）判斷g（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，列出方程組，直接求f（x）和g（x）的解析式；
（2）利用單調(diào)性的定義可先判斷函數(shù)h（x）=x-

1

x

在（0，1）上的單調(diào)性，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可求函數(shù)g（x）在（-1，0）上的單調(diào)性，進(jìn)而可求g（x）的單調(diào)性

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f(x)+g(x)=

1

x+1

①
∴f（-x）+g（-x）=

1

1-x

即f（x）-g（x）=

1

1-x

②
①②聯(lián)立可得f（x）=

1

1-x2

，g（x）=

x

x2-1

（2）g（x）在（-1，1）單調(diào)遞減，證明如下：
∵g（x）=

x

x2-1

=

1

x- 1 x

，
令h（x）=x-

1

x

，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1
則h（x₁）-h（x₂）=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴(x1-x2)(1+

1

x1x2

)＜0即h（x₁）＜h（x₂）
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增h（x）＜0，g（x）＜0
根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增h（x）＞0，g（x）＞0
∵g（0）=0
∴g（x）在（-1，1）單調(diào)遞減

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的對數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力．