設函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當n＞m＞0時，（1+n）m＜（1+m）n；
（Ⅲ）證明：當n＞2012，且x1，x2，x3，…，xn∈R+，x1+x2+x3+…+xn=1時，
（1）
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n

（2）(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
．
分析：（Ⅰ）求導數(shù)，再利用導數(shù)大于0或小于0，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=
ln(1+x)
x
，求導數(shù)g'（x）=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
，由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，從而可得
ln(1+n)
n
＜
ln(1+m)
m
，由此可得結論；
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可得
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n
；（2）由（1）得：(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥(
1
1+n
)
1
n
．又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，從而有（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
，結合放縮法即可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1），有f'（x）=-ln（x+1），…（2分）
當-1＜x＜0時，f'（x）＞0時，f（x）單調遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0時，f（x）單調遞減；
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0），單調遞減區(qū)間為[0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）設g（x）=
ln(1+x)
x
，
則g'（x）=
x-(1+x)ln(1+x)
x2(1+x)
．…（6分）
由（Ⅰ）知，x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）單調遞減，
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，即g（x）是減函數(shù)，
而n＞m＞0，所以g（n）＜g（m），得
ln(1+n)
n
＜
ln(1+m)
m
，
得mln（1+n）＜nln（1+m），故（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）（1）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式可知，(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)(1+n)=(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)[(1+x1)+(1+x2)+(1+x3)+[（1+x1）+…+（1+xn）]×
1
1+n

≥(
x
2
1
1+x1
•
1+x1
+
x
2
2
1+x2
•
1+x2
+…+
x
2
n
1+xn
•
1+xn
)×
1
1+n
=（x1+x2+x3+…+xn）2=
1
1+n
，
所以
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
≥
1
1+n
，…（11分）
（2）由（1）得：(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥(
1
1+n
)
1
n
．
又n＞2012，由（Ⅱ）可知（1+n）2012＜（1+2012）n，
即（1+n） 
1
n
＜（1+2012） 
1
2012
，即（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
．
則(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
≥（
1
1+n
） 
1
n
＞（
1
2013
） 
1
2012
．
故(
x
2
1
1+x1
+
x
2
2
1+x2
+
x
2
3
1+x3
+…+
x
2
n
1+xn
)
1
n
＞(
1
2013
)
1
2012
＞（
1
2013
） 
1
2012
．…（14分）
點評：本題考查了函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數(shù)，是一個綜合題，題目難度中等，在證明不等式時，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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