Question

若P、q是方程的兩實(shí)根，且p，p-q，q成等比數(shù)列．
（1）求正數(shù)t的值．
（2）設(shè)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．求證：．

Answer 1

解：（1）∵P、q是方程的兩實(shí)根，
∴p+q=，pq=t²，
∵p，p-q，q成等比數(shù)列，
∴（p-q）²=pq，即（p+q）²=5pq，
∴10=5t²，
∵t＞0，∴t=．
（2）∵=，
∴S_n==1-＜1=，
而1-≥1-==log₂t，
∴．
分析：（1）根據(jù)P、q是方程的兩實(shí)根，利用韋達(dá)定理可求得p+q，pq，p，p-q，q成等比數(shù)列，根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得（p-q）²=pq，然后配湊成韋達(dá)定理的形式，即可求得正數(shù)t的值；
（2）根據(jù)，利用裂項(xiàng)相消法可求其前n項(xiàng)和S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性可證．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查韋達(dá)定理的應(yīng)用和等比數(shù)列的性質(zhì)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了方程的思想．以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．