Question

已知函數(shù)f（x）=2+

1

x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1

an+1

=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2+

1

x

，

1

an+1

=f（a_n）聯(lián)立可得遞推式

1

an+1

=2+

1

an

，移向后即可得到結(jié)論；
（2）由數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列求出a_n，把a(bǔ)_n代入S_n=a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n+1，利用裂項(xiàng)相消可求前n項(xiàng)和．

解答：（1）證明：因?yàn)閒（x）=2+

1

x

，
由

1

an+1

=f（a_n）得，

1

an+1

=2+

1

an

，
即

1

an+1

-

1

an

=2（n∈N*），
所以，數(shù)列{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列；
（2）解：由數(shù)列{

1

an

}是公差為2的等差數(shù)列，

1

a1

=1．
所以

1

an

=1+2(n-1)=2n-1．
則an=

1

2n-1

．
anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
所以，S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，此題是中檔題．