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10.在△ABC中,O是△ABC的重心,AM是中線.
(1)求證:OA+OB+OC=0;
(2)若P為中線AM上的一個動點,且AM=2,求PAPB+PC)的最小值.

分析 (1)由條件利用三角形的重心的性值可得OA=-2OM,且OM=OB+OC2,由此可證得OA+OB+OC=0
(2)設AP=x,則PM=2-x,(0≤x≤2),化簡要求的式子為2(x-1)2-2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值.

解答 解:(1)證明:△ABC中,O是△ABC的重心,AM是中線,∴AO=2OM,即OA=-2OM
又∵OM=OB+OC2,∴OB+OC=2OM,∴OA+OB+OC=-2OM+2OM=0
(2)若P為中線AM上的一個動點,且AM=2,設AP=x,則PM=2-x,(0≤x≤2),
∵M為線段BC的中點,∴PB+PC=2PM,∴PAPB+PC
=2PAPM=-2x•(2-x)=2x•(x-2)=2(x-1)2-2,
故當x=2時,PAPB+PC)取得最小值為-2.

點評 本題考查了三角形的中線,兩向量的和的平行四邊形法則,均值不等式及不等式的性質(zhì),是中檔題.

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