Question

已知函數(shù)f（x）=

a

2

lnx+（a+1）x²+1．
（Ⅰ）當a=-

1

2

時，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當-1＜a＜0時，有f（x）＞1+

a

4

ln（-a）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1，可得f′(x)=-

1

4x

+x=

4x2-1

4x

．分別由f′（x）≥0；由f′（x）≤0解出，即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值與最值．
（Ⅱ）f′(x)=

4(a+1)x2+a

2x

，x∈（0，+∞）．對a分類討論：當a+1≤0，即a≤-1時；當a≥0時；當-1＜a＜0時，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當-1＜a＜0時，f_min（x）=f(

-a 4(a+1)

)，f（x）＞1+

a

4

ln（-a）恒成立等價于f(

-a 4(a+1)

)＞1+

a

4

ln(-a)，化為ln（4a+4）＞-1，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

4

lnx+

1

2

x2+1，
∴f′(x)=-

1

4x

+x=

4x2-1

4x

．
∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴由f′（x）≥0 得x≥

1

2

；由f′（x）≤0 得x≤

1

2

．
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

，

1

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

2

，e]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）_min=f(

1

2

)=

9

8

+

1

4

ln2．
（Ⅱ）f′(x)=

4(a+1)x2+a

2x

，x∈（0，+∞）．
①當a+1≤0，即a≤-1時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③當-1＜a＜0時，由f′（x）＞0，得x2＞

-a

4(a+1)

，解得x＞

-a 4(a+1)

．
∴f（x）在(

-a 4(a+1)

，+∞)單調(diào)遞增，在(0，

-a 4(a+1)

)上單調(diào)遞減；
綜上可得：當a≥0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在(

-a 4(a+1)

，+∞)單調(diào)遞增，在(0，

-a 4(a+1)

)上單調(diào)遞減；
當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當-1＜a＜0時，f_min（x）=f(

-a 4(a+1)

)，
f（x）＞1+

a

4

ln（-a）恒成立等價于f(

-a 4(a+1)

)＞1+

a

4

ln(-a)，
化為ln（4a+4）＞-1，
∴a＞

1

4e

-1，
又∵-1＜a＜0，
∴a的取值范圍為(

1

4e

-1，0)．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法與恒成立問題等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．