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1.已知長方形ABCD中,AD=2,AB=2,E為AB中點,將△ADE沿DE折起到△PDE,所得四棱錐P-BCDE,如圖所示.
(1)若點M為PC中點,求證:BM∥平面PDE;
(2)求證:DE⊥PC.

分析 (1)取PD的中點F,連接EF,F(xiàn)M,由中位線定理及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形,進而BM∥EF,再由線面垂直的判定定理,即可得到BM∥平面PDE;
(2)在矩形ABCD中,連接AC交DE于N,即可證明DE⊥AC,所以在四棱錐P-EBCD中,PN⊥DE,CN⊥DE,從而證明DE⊥平面POC,易推知結(jié)論.

解答 (1)證明:如圖2,取DP中點F,連接EF,F(xiàn)M,
∵在△PDC中,點F,M分別是所在邊的中點,所以FM=12DC,
又EB=DC,
所以FM=EB.
所以FEBM是平行四邊形,所以BM∥EF,
又EF?平面PDE,BM?平面PDE,
所以BM∥平面PDE.
(2)在矩形ABCD中,連接AC交DE于N,
因為tanDEA=2,tanCAB=22,
所以∠DEA+∠CAB=\frac{π}{2},
所以DE⊥AC,
所以在四棱錐P-EBCD中,PN⊥DE,CN⊥DE,
又PN∩CN=N,所以DE⊥平面POC,
因為PC?平面POC,所以DE⊥PC.

點評 此題考查的知識點是直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.

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