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20.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為c,公差為d,等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為d,公比為c,其中c,d∈Z,且a1<b1<a2
b2<a3
(1)求證:0<c<d,并由b2<a3推導(dǎo)c的值;
(2)若數(shù)列{an}共有3n項(xiàng),前n項(xiàng)的和為A,其后的n項(xiàng)的和為B,再其后的n項(xiàng)的和為C,求B2ACAC2的比值.
(3)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng),前2n項(xiàng)、前3n項(xiàng)的和分別為D,G,H,試用含字母D,G的式子來(lái)表示H(即H=f(D,G),且不含字母d)

分析 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推知0<c<d,結(jié)合已知條件a1<b1<a2<b2<a3列出不等式組:{0cddcdcdc+2d3d,通過(guò)解該不等式組推導(dǎo)c的值;
(2)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)推知A=Sn,B=S2n-Sn,C=S3n-S2n,易得B、A+C=2B,結(jié)合代數(shù)式的變形來(lái)求B2ACAC2的值;
(3)根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別表示出D、G、H,然后找到它們的數(shù)量關(guān)系.

解答 解:(1)已知a1=c,a2=c+d,a3=c+2d,b1=d,b2=dc,
由b1<a2可知c>0,因此0<c<d,
由a1<b1<a2<b2<a3可得:c<d<c+d<cd<c+2d,且c,d∈Z,
因此可得不等式組:{0cddcdcdc+2d3d{0c1cc3⇒1<c<3.
又因?yàn)閏∈Z,
因此c=2;
(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為數(shù)列an=2+(n-1)d,Sn=5z3gitu2n2+(2-\fracv5yl5ep2)n,A=Sn,B=S2n-Sn,C=S3n-S2n,
B=\fracbf6k30a2(4n2-n2)+(2-\frack85ho8g2)(2n-n)=\fracclvcfkr2•3n2+(2-0xaf8aj2)n,
可得A+C=\fracxmnx83v2n2+(2-\fracw86uwhi2)n+\fraccfsv8be2(9n2-4n2)+(2-\fract0sbdkw2)(3n-2n)=3d•n2+(2-\fracdmvh8bj2)•2n,
可得A+C=2B,
因此B2ACAC2=A+C24AC4AC=14;
(3)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=d•2n-1
因此D=d2n121=d(2n-1),G=d(22n-1),H=d(23n-1).
所以{G=2n+1DH=23n+2n+1D,
因此H=D•(GD-1)2+G=G2D+2D-G.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用,數(shù)列的求和,考查計(jì)算能力,屬于難度較大的題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求A,(∁UA)∩B;
(2)若(∁UB)∪C=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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11.某市家庭煤氣的使用量xcm3和燃?xì)赓M(fèi)f(x)(元)滿(mǎn)足關(guān)系fx={C0xAC+BxAxA,已知某家庭今年前三個(gè)月的燃?xì)赓M(fèi)如表:
 月份 用氣量煤氣費(fèi)
 一月份 4m3 4元
 二月份 25m3 14元
 三月份35m3 19元
若四月份該家庭使用了20cm3的煤氣,則其燃?xì)赓M(fèi)為11.5元.

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15.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為其前n項(xiàng)和,對(duì)于任意的n∈N*,滿(mǎn)足關(guān)系式2Sn=3an-3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=1log3anlog3an2+1,求證對(duì)一切的正整數(shù)n都有:b1+b2+…+bn23

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5.某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位:t)的頻率分布直方圖及頻數(shù)分布表如下:
分組頻數(shù)
[0,0.5)4
[0.5,1)8
[1,1.5)15
[1.5,2)22
[2,2.5)25
[2.5,3)14
[3,3.5)6
[3.5,4)4
[4,4.5)2
合計(jì)100
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù);
(2)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn),若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi),當(dāng)?shù)卣忉屨f(shuō),85%以上的居民不超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)解釋對(duì)嗎?為什么?

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(1)當(dāng)m=-4時(shí),解不等式f(x)<0;
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B.命題P使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”,是假命題
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